A série de Fourier: Sinais Periódicos de Tempo Discreto

Vamos ver agora como se comporta a representação dos sinais periódicos que são discretos, quando o representamos na série de Fourier, suas principais características e as diferenças e semelhanças em relação aos sinais de tempo contínuo.

Definição da série de Fourier para sinais de tempo discreto e periódicos

Analogamente ao sinal contínuo, o sinal periódico de tempo discreto S[n] é aquele tal que:
$$S[n] = S[n + N] $$

Quando N é um inteiro positivo e é o menor valor que satisfaz a equação acima, dizemos que N é o período de S[n] ou número de amostra, e a frequência fundamental do sinal é dada por:
$$\omega_0 = \frac{2\pi}{N} $$

Logo, podemos representar toda a gama de sinais que são periódicos de período N e que tem frequências dada por: 
$$\omega_k = \frac{2k\pi}{N} $$

Fazendo uma análise matemática dessa expressão é possível notar que os valores da frequência vão se repetir. Na verdade, só temos N valores distintos de frequência possíveis, devido ao fato do período ser sempre um inteiro.

Um fato importante, em relação aos sinais de tempo contínuo, é que o sinais de tempo discreto são representados por uma série finita, pois só existem um número finito de frequências.

Fazendo a manipulação algébrica através do somatório de todos os sinais harmônicos, chegamos a série de Fourier para sinais periódicos de tempo discreto:
$$ S[n] = \sum_{k=\left \langle N \right \rangle} a_k e^{jkw_0N}$$
$$ a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=\left \langle N \right \rangle}x[n] e^{-jkw_0n} $$

Ou seja, aqui, temos que escolher um intervalo qualquer de N valores consecutivos para representarmos um sinal sob a forma de série de Fourier e para descobrir os coeficientes da série.
Blog Widget by LinkWithin