Propriedade da série de Fourier de tempo contínuo - Aplicando o conjugado complexo

Vamos ver, nesta seção, o que acontece quando aplicamos a propriedade do conjugado de números complexos, nas séries de Fourier de sinais de tempo contínuo.


Segundo a definição de série de Fourier, podemos expressar a série na forma:
$$ A(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Aplicando o conjugado em ambos lados:
$$ A^{*}(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n^* e^{-i \,n \omega_0 \, t}$$

Fazendo:
$$k=-n$$

Temos:
$$ A^{*}(t) = \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_{-k}^* e^{i \,k \omega_0 \, t}$$

Logo, quando aplicamos o conjugado em uma série de Fourier, estamos aplicando o complexo conjugado em seus coeficientes e estamos também aplicando a propriedade da reflexão.

Caso o sinal seja real:
$$A(t) = A^*(t)$$
Então:
$$a_n=a^*_{-n}$$
$$a^*_n = a_{-n}$$
Chamamos essa última relação de simetria conjugada.


Com base nisso e na propriedade da reflexividade, é fácil mostrar que:

Caso o sinal seja real e par, os coeficientes da série de Fourier são reais e pares:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal par: $$ a_n = a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são reais: $$a_n = a^*_n $$



Caso o sinal seja real e ímpar, os coeficientes da série de Fourier são ímpares e imaginários:
simetria conjugada: $$a^*_n = a_{-n}$$
reflexividade do sinal ímpar: $$ a_n = - a_{-n} $$
Logo, os coeficientes são puramente imaginários: $$a_n = - a^*_n $$


Note também que, em qualquer dos casos, o módulo do coeficientes da série de Fourier permanecem inalterados quando aplicamos a propriedade da simetria conjugada.
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