Propriedade da série de Fourier em sinais de tempo contínuo - multiplicando sinais e Relação de Parseval | Eletrônica Progressiva

Dando continuidade as propriedades das séries de Fourier para sinais de tempo contínuo, vamos mostrar o que acontece quando multiplicamos dois sinais e vamos apresentar uma importante fórmula, a relação de Parseval.



Produto de Sinais

Sejam dois sinais de tempo contínuo, de mesmo período T: $$A(t)$$ e $$B(t)$$
com coeficientes da série de Fourier dados, respectivamente, por: $$a_n$$ e $$b_n$$

O n-ésimo coeficiente do produto: $$A(t) . B(t) $$ , que também possui período T, é dado por:
$$c_n = \sum_{k=-\infty}^{k=\infty} a_k . b_{n -k} $$

Essa relação não só parece como pode ser vista como uma soma de convolução discreta dos coeficientes das sequências de Fourier que representam sinais.
Outra forma de obter essa relação é simplesmente multiplicando as representações dos sinais A(t) e B(t) sob a forma de série de Fourier e rearranjando e agrupando seus termos.


A relação de Parseval

A relação de Parseval é famosa, e muito útil, porque relaciona diretamente o sinal com seus coeficientes e é obtida através do cálculo da potência média de um intervalo de período do sinal, resultando na expressão de Parseval:
$$ \frac{1}{T} \int_T \left\vert A(t) \right\vert^2 dt = \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} \left\vert a_n \right\vert^2$$

Onde A(t) é o sinal de tempo contínuo de período T, de coeficientes da série de Fourier $$a_n$$.
Um detalhe importante e que torna a equação de Parseval bem abrangente é o fato que ela é válida para qualquer sinal periódico, visto que expressão foi obtida pelo cálculo da potência média de um sinal periódico qualquer.

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