Propriedade da série de Fourier em sinais de tempo contínuo - alterando a escala do tempo do sinal em um fator | Eletrônica Progressiva

Dando continuidade as propriedades das séries de Fourier para sinais de tempo contínuo, vamos mostrar o que acontece quando multiplicamos o tempo de um sinal por uma constante.

Propriedade da série de Fourier: alterando a escala do tempo do sinal em um fator

Seja o sinal A(t) e um número positivo real k que será o fator.
Segundo a definição de série de Fourier, podemos expressar a série na forma:
$$ A(t) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n \omega_0 \, t}$$

Ao alterarmos a escala do tempo em um fator kA(kt) , também alteramos seu período, que agora é: 
$$\frac{T}{k}$$

Como a frequência fundamental é dada por:
$$ w_0 = \frac{2\pi}{T}$$

A nova frequência será:
$$w = \frac{2\pi}{\frac{T}{k}} = k w_0$$

Então, o novo sinal da série de Fourier será dado por:
$$ A(kt) = \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}a_n e^{i \,n k\omega_0 \, t}$$

Ou seja, os coeficientes $$a_n$$ permanecem inalterados. Porém a frequência do sinal mudou.
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